Los procesos estocásticos son actualmente una rama importante de la probabilidad, con aplicaciones relevantes y cada día mayores dentro de las matemáticas y otras disciplinas tales como: la ingeniería, genética, estadística, biología, economía, telecomunicaciones, medio ambiente y finanzas. Asimismo, dentro de las matemáticas existe una conexión entre los procesos estocásticos y áreas tales como ecuaciones con derivadas parciales, semigrupos de operadores y la teoría del potencial, por mencionar sólo algunas.
El presente libro está pensado para dar una cultura básica y sólida en el área de los procesos estocásticos, que permita al lector continuar con investigaciones o desarrollar aplicaciones. Expone de una manera moderna, sistemática y rigurosa los resultados más relevantes de la teoría de los procesos estocásticos, con demostraciones claras, cortas y completas. Se ha tratado de cubrir en forma extensa el caso del tiempo uni y multidimensional, así como el del espacio de estados finito e infinito dimensional. En particular, se cubre de manera detallada el proceso estocástico más importante con trayectorias continuas: el Movimiento Browniano (tanto el caso finito como el de espacios de Hilbert), así como su integral estocástica correspondiente.

Índice general
Prólogo XIII
Prologue XV
Prefacio XVII
1. Generalidades sobre procesos estocásticos 1
1.1. Procesos equivalentes y medibles…………………………………………2
1.2. Filtraciones y tiempos de paro………………………………………………7
1.3. La construcción de Kolmogorov………………………………………….16
1.4. Procesos continuos……………………………………………………………..21
1.4.1. El espacio de Wiener………………………………………………………..21
1.4.2. El criterio de continuidad de Kolmogorov………………………..24
1.4.3. Familias uniformemente tensas de probabilidades
y convergencia débil en el espacio de Wiener…………………………..29
2. Martingalas 35
2.1. Propiedades generales……………………………………………………….35
2.2. Martingalas con tiempo discreto……………………………………….41
2.2.1. El teorema de paro de Doob…………………………………………..41
2.2.2. Desigualdades maximales……………………………………………….46
2.2.3. Teorema de convergencia………………………………………………50
2.3. Martingalas con tiempo continuo……………………………………..65
2.3.1. Desigualdades maximales y el teorema de convergencia….65
2.3.2. Martingalas uniformemente integrables y el teorema de paro de Doob…..67
2.3.3. Existencia de la versión cadlag de una martingale……………73
2.4. Martingalas continuas………………………………………………………..76
2.4.1. Martingalas locales y la descomposición de Doob-Meyer….76
2.4.2. Martingalas cuadrado integrables……………………………………..91
2.5. Martingalas en espacios de Hilbert………………………………………96
3. El movimiento Browniano 103
3.1. Procesos Gaussianos y el Movimiento Browniano…………….104
3.1.1. Procesos Gaussianos. Construcción y ejemplos……………..104
3.1.2. Caracterizaciones del Movimiento Browniano……………….112
3.2. La medida de Wiener……………………………………………………….134
3.2.1. La medida de Wiener sobre el espacio de Wiener…………134
3.2.2. Procesos isonormales y la integral de Wiener……………….143
3.2.3. La medida de Wiener como medida Gaussiana……………..152
3.2.4. Transformación de la medida de Wiener
por transformaciones lineales y translaciones…………………………157
3.3. La propiedad fuerte de Markov del Movimiento Browniano…..172
3.4. Las trayectorias del Movimiento Browniano…………………………..178
3.4.1. Propiedades locales de las trayectorias………………………………178
3.4.2. La ley del logaritmo iterado……………………………………………….186
3.5. Movimiento Browniano en espacios de Hilber……………………..192
3.5.1. El caso de la covarianza nuclear…………………………………………192
3.5.2. El movimiento Browniano cilíndrico………………………………….201
3.5.3. El teorema de Fernique sobre la integrabilidad de las medidas Gaussianas…..205
3.6. El movimiento Browniano Fraccionario……………………………….208
3.6.1. Caracterizaciones del Movimiento Browniano Fraccionario . . . . 208
3.6.2. La integral de Wiener fraccionaria……………………………………218
4. La integral estocástica 227
4.1. La integral estocástica con respecto a una semimartingala continua…….228
4.1.1. La integral estocástica con respecto a una martingala continua cuadrado integrable 228
4.1.2. Integral estocástica con respecto a una semimartingala continua…….248
4.2. La fórmula de Ito…………………………………………………………………………………265
4.2.1. Demostración de la fórmula de Ito y ejemplos…………………………………265
4.2.2. Aplicaciones de la fórmula de Ito…………………………………………………….275
4.3. Martingalas exponenciales y el teorema de Girsanov………………………..289
4.4. La integral estocástica con respecto al Movimiento Browniano infinito dimensional….297
4.5. Integrales estocásticas múltiples……………………………………………………….309
4.5.1. Integrales múltiples de Wiener-Ito………………………………309
4.5.2. Integrales estocásticas múltiples fraccionarias……………325
5. Procesos de Markov 333
5.1. Definiciones equivalentes de un proceso de Markov……..334
5.2. Funciones de transición…………………………………………………336
5.2.1. Funciones de transición y la descripción de la propiedad de Markov…336
5.2.2. Procesos de Markov canónicos…………………………………..346
5.3. Procesos con incrementos independientes……………………351
5.3.1. Procesos con incrementos independientes como procesos de Markov…..351
5.3.2. El proceso de Poisson…………………………………………………355
5.4. La propiedad fuerte de Markov…………………………………….362
5.5. El generador infinitesimal…………………………………………….372
5.5.1. Semigrupos de operadores y el teorema de Hille-Yosida…..372
5.5.2. El generador infinitesimal de un proceso de Markov.
Procesos de Feller-Dynkin………………………………………………….383
5.6. Procesos de difusión y el problema de la martingala……396
5.6.1. Procesos de difusión………………………………………………..396
5.6.2. Procesos de difusión y el problema de la martingala….403
5.6.3. Procesos de difusión y martingalas exponenciales…….406
6. Ecuaciones diferenciales estocásticas 417
6.1. Soluciones débiles……………………………………………………….418
6.1.1. Definición de las soluciones y la unicidad en trayectoria y en ley……..418
6.1.2. Soluciones débiles y el problema de la martingala……422
6.1.3. El teorema de Yamada-Watanabe……………………………429
6.2. Teoremas de existencia y unicidad……………………………..436
6.2.1. Teoremas de existencia……………………………………………436
6.2.2. Teoremas de unicidad en trayectoria……………………….443
6.2.3. Existencia y unicidad en ley usando el teorema de Girsanov………451
6.3. Ecuaciones de Ito con coeficientes de Lipschitz………………….456
6.3.1. Existencia, unicidad y la propiedad de Markov de las soluciones……456
6.3.2. Dependencia continua con respecto a las condiciones iniciales y a los coeficientes….476
6.3.3. Diferenciabilidad con respecto a las condiciones iniciales………………483
6.4. Ecuaciones de Ito afines……………………………………………………494
A. El teorema de las clases monótonas……………………………………505
B. La convergencia débil en espacios métricos………………………..507
C. Operadores compactos……………………………………………………...513
D. Probabilidades en espacios de Hilbert……………………………….519
E. Medidas Gaussianas…………………………………………………………..531
F. La probabilidad condicional regular……………………………………537
G. El lema de Gronwall………………………………………………………….543
H. Aproximación de las funciones de la clase C'……………………..545
I. Existencia de selecciones medibles y aplicación a las funciones matriciales…547
J. Integrales y derivadas fraccionarias 549
Notaciones de use frecuente 553
I. Conjunto de números………………………………………………………..553
II. Espacios topológicos y funciones………………………………………553
III. Operadores……………………………………………………………………..555
IV. Funciones medibles, medidas y a-algebras……………………..555
V. Procesos estocásticos……………………………………………………….556
Bibliografía 559
Índice analítico 573