Este libro está pensado para estudiantes de la licenciatura en matemáticas y como tal enfatiza la motivación de los conceptos y propiedades que se introducen, así como las demostraciones de los resultados que se obtienen. La parte inicial usa como motivación el estudio de la matemática alrededor del problema de resolver sistemas de ecuaciones lineales para introducir y estudiar las propiedades básicas de los espacios vectoriales y las funciones lineales entre ellos. Los requisitos para esta parte son mínimos, el principal es estar familiarizado con la lectura y escritura de demostraciones matemáticas. La segunda parte del libro, los capítulos 4 al 8, forman la parte medular del texto, y su objetivo general es el estudio de la estructura de los operadores lineales en un espacio vectorial de dimensión finita. La tercera parte del libro es una introducción al álgebra multilineal, suficiente para aplicaciones al cálculo en varias variables y la geometría.

Índice general
Prefacio……………………………………………………………………………..VI
1.-Espacios vectoriales 1
1.1. Sistemas de ecuaciones lineales…………………………………..2
1.2. Espacios vectoriales…………………………………………………….7
1.2.1. Propiedades elementales de los espacios vectoriales….10
1.3. Subespacios vectoriales………………………………………………….12
1.3.1. Operaciones con subespacios vectoriales…………………..16
1.3.2. Suma de subespacios………………………………………………….16
1.3.3. Suma directa de subespacios……………………………………..17
1.4. Combinaciones lineales…………………………………………………19
1.4.1. Sistemas de ecuaciones lineales y combinaciones lineales….20
1.4.2. Subespacios generados por un subconjunto de vectores……21
1.5. Espacios cociente………………………………………………………………….24
1.6. Dependencia e independencia lineal…………………………………….27
1.7. Bases y dimensión………………………………………………………………..31
1.7.1. Espacios vectoriales de dimensión finita……………………………33
1.7.2. La dimensión de subespacios…………………………………………….37
1.7.3. Bases y dimensión de espacios cociente……………………………37
1.7.4. Bases de sumas directas……………………………………………………38
1.7.5. Bases de espacios vectoriales de dimensión infinita…………39
2. Transformaciones lineales 43
2.1. Transformaciones lineales…………………………………………………..43
2.2. Espacios asociados a transformaciones lineales………………….51
2.2.1. Núcleo e imagen de una transformación lineal………………..51
2.2.2. Espacios cociente y la formula de dimensión…………………..54
2.2.3. Productos directos y sumas directas……………………………….56
2.2.4. El espacio vectorial de transformaciones lineales……………57
2.3. Matrices y transformaciones lineales……………………………………..61
2.3.1. Coordenadas, bases ordenadas e isomorfismos asociados…..61
2.3.2. Matriz asociada a una transformación lineal……………………….63
2.3.3. Producto de matrices………………………………………………………….67
2.3.4. La matriz identidad y matrices invertibles…………………………..71
2.3.5. La transformación lineal asociada a una matriz…………………..73
2.3.6. Composición de funciones lineales y producto de matrices…77
2.3.7. Cambios de base…………………………………………………………………78
3. Sistemas de ecuaciones lineales 81
3.1. Solubilidad de sistemas de ecuaciones lineales……………………..81
3.1.1. Operaciones elementales…………………………………………………..83
3.1.2. Operaciones elementales y matrices elementales……………..85
3.2. El método de eliminación de Gauss………………………………………89
3.2.1. El rango de una matriz……………………………………………………….92
3.2.2. La inversa de una matriz…………………………………………………….93
3.2.3. Solución de sistemas de ecuaciones con el método de Gauss….96
3.2.4. Unicidad de la forma escalonada reducida………………………100
4. Determinantes 103
4.1. Expansión por menores……………………………………………………..103
4.2. Permutaciones y determinantes………………………………………..108
4.2.1. El grupo de permutaciones Sn………………………………………..109
4.2.2. Transposiciones……………………………………………………………..111
4.2.3. El signo de una permutación………………………………………….112
4.2.4. Permutaciones pares e impares……………………………………..113
4.2.5. La fórmula de Leibniz para el determinante……………………113
4.3. Otras propiedades de los determinantes…………………………..115
4.3.1. Determinante de la transpuesta, producto e inversa de matrices…..116
4.3.2. La regla de Cramer…………………………………………………………117
4.3.3. El determinante de un operador lineal…………………………..118
5. Diagonalización de operadores 121
5.1. Valores y vectores propios……………………………………………….122
5.1.1. El polinomio característico……………………………………………124
5.1.2. Espacios propios y diagonalizabilidad……………………………128
5.2. Subespacios invariantes y subespacios cíclicos………………..135
5.2.1. Subespacios T-cíclicos…………………………………………………..136
5.3. Polinomios de matrices y de operadores…………………………140
5.3.1. El polinomio mínimo…………………………………………………….142
5.3.2. El polinomio anulador y los espacios T-cíclicos……………..147
5.4. Sumas directas y diagonalización…………………………………….152
5.4.1. El teorema de descomposición primaria………………………154
5.4.2. Suma directa de transformaciones lineales…………………..155
5.4.3. Diagonalización y sumas directas………………………………….157
5.4.4. Diagonalización simultanea………………………………………….157
5.5. El teorema fundamental del algebra………………………………159
6. Formas canónicas 163
6.1. Triangulación de operadores………………………………………….164
6.2. La forma canónica de Jordan………………………………………….168
6.2.1. La descomposición cíclica de operadores nilpotentes….169
6.2.2. La forma canónica de Jordan……………………………………….172
6.2.3. Vectores propios generalizados…………………………………..173
6.2.4. Ciclos de vectores propios generalizados…………………….175
62.5. Diagramas de Young y unicidad de la forma de Jordan…177
6.2.6. La forma canónica de Jordan real de una matriz real…..182
6.2.7. Complejificación…………………………………………………………187
6.2.8. La exponencial de una matriz…………………………………….191
6.2.9. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales………………195
7. Espacios con producto interno 197
7.1. Productos internos y hermitianos…………………………………….198
7.2. Normas…………………………………………………………………………….201
7.2.1. Ortogonalidad……………………………………………………………….202
7.2.2. Las desigualdades de Cauchy-Schwarz y del triángulo……203
7.2.3. Ángulos…………………………………………………………………………205
7.3. Bases ortonormales………………………………………………………….205
7.3.1. Complementos ortogonales………………………………………….210
7.3.2. Un teorema de Schur…………………………………………………….211
8. Los teoremas espectrales……………………………………………………213
8.1. La adjunta de una transformación lineal………………………….213
8.1.1. Operadores autoadjuntos…………………………………………….217
8.1.2. Operadores normales………………………………………………….220
8.2. Los teoremas espectrales real y complejo………………………222
8.3. Operadores ortogonales y unitarios………………………………226
8.3.1. La descomposición de Schur y la exponencial de una matriz……229
8.3.2. Transformaciones rígidas e isometrías……………………….230
9. Formas bilineales y dualidad……………………………………………233
9.1. Funciones y formas bilineales………………………………………233
9.1.1. La matriz de Gram asociada a una forma bilineal……..234
9.2. Formas cuadráticas……………………………………………………..238
9.2.1. Formas cuadráticas sobre R y el teorema de Sylvester….241
9.3. Dualidad……………………………………………………………………….244
9.3.1. Dualidad y apareamientos………………………………………..246
9.3.2. Dual de una transformación lineal……………………………247
10. Funciones multilineales 249
10.1. Funciones multilineales y el producto tensorial………..249
10.1.1. Funciones bilineales y el producto tensorial…………..249
10.1.2. Producto tensorial de dos funciones lineales…………255
10.1.3. Complejificación……………………………………………………258
10.1.4. Funciones multilineales y el producto tensorial……...259
10.1.5. Dualidad y el producto tensorial………………………………..261
10.1.6. Contracciones……………………………………………………………263
10.1.7. Subir y bajar índices…………………………………………………..264
10.1.8. Potencias tensoriales…………………………………………………264
10.2. Funciones simétricas y tensores simétricos………………….265
10.2.1. Funciones multilineales simétricas……………………………265
10.2.2. Tensores simétricos y potencias simétricas……………….266
10.2.3. Potencias simétricas de una función lineal………………..267
10.2.4. Formas simétricas y tensores simétricos…………………..268
10.2.5. Bases para potencias simétricas……………………………….269
10.3. Funciones alternantes y tensores alternantes……………..272
10.3.1. Funciones multilineales alternantes…………………………272
10.3.2. Tensores alternantes y potencias exteriores……………273
10.3.3. Potencias exteriores de una función lineal………………276
10.3.4. Bases para potencias exteriores………………………………277
10.3.5. El determinante de un operador lineal……………………282
10.3.6. Formas alternantes y tensores alternantes……………..284
10.3.7. Producto curia de tensores y formas alternantes…….288
10.4. Notación clásica………………………………………………………….291
10.4.1. El álgebra tensorial de un espacio vectorial……………..292
10.4.2. Bases, coordenadas y la convención de Einstein……..293
10.4.3. Cambios de base……………………………………………………..295
10.4.4. Operaciones con tensores dados por sus coordenadas….295
A. Números complejos y polinomios 299
A.1. El campo de números complejos…………………………………300
A.2. Polinomios en una variable…………………………………………306
A.3. Raíces o ceros de un polinomio……………………………………311
A.4. El campo de funciones racionales en una variable……….316
Bibliografía………………………………………………………………………….317
Índice analítico 319