Desde la geometría hasta la física, desde la combinatoria hasta la teoría de números, donde quiera que existan simetrías, la teoría de grupos está presente. Este libro es una introducción a esta teoría, y a pesar de que sólo es una introducción elemental, toca muchos aspectos de ésta, con énfasis en los grupos finitos, preparando al estudiante para niveles más avanzados. Los prerrequisitos se han mantenido en un mínimo: un curso de Álgebra Lineal y un curso de teorema fundamental de aritmética. Comienza describiendo el concepto de simetría para motivar la idea de grupo y, después de discutir algunos ejemplos importantes, grupos cíclicos, de permutaciones y de matrices; introduce los teoremas de estructura básicos, desde el teorema de Lagrange hasta los de Sylow, y los aplica para introducir al estudio de los grupos simples y solubles. La parte final es un preludio a la teoría de caracteres de grupos finitos y aplica estos resultados para probar un importante teorema de Burnside.

Índice general
Introducción XIII
1 Simetrías y operaciones binarias 1
Simetrías…………………………………………………………………………………….5
Operaciones binarias y asociatividad………………………………………….5
Conmutatividad………………………………………………………………………….7
Elemento neutro………………………………………………………………………..7
Notas…………………………………………………………………………………………7
Ejercicios……………………………………………………………………………………8
2 Grupos y subgrupos 9
Grupos………………………………………………………………………………………9
Grupos abelianos……………………………………………………………………..11
El orden de un grupo………………………………………………………………..12
Subgrupos………………………………………………………………………………..14
Notas………………………………………………………………………………………..15
Ejercicios………………………………………………………………………………….17
3 Grupos cíclicos………………………………………………………………………19
Grupos cíclicos infinitos……………………………………………………………22
Grupos cíclicos finitos………………………………………………………………23
El orden de un elemento…………………………………………………………24
Notas………………………………………………………………………………………25
Ejercicios………………………………………………………………………………..25
4 Grupos de permutaciones 27
El grupo simétrico………………………………………………………………….27
Ciclos…………………………………………………………………………………….29
Órbitas…………………………………………………………………………………30
Órbitas y ciclos……………………………………………………………………..31
Permutaciones disjuntas………………………………………………………32
Transposiciones……………………………………………………………………34
Permutaciones pares e impares…………………………………………..35
El grupo alternante……………………………………………………………..36
El grupo diédrico…………………………………………………………………37
Clases de conjugación en Sn……………………………………………….39
El número de k-ciclos en Sn………………………………………………..41
El número de estructuras cíclicas en Sn………………………………41
El número de permutaciones de un tipo dado……………………43
Generadores de Sn…………………………………………………………….44
Generadores de An……………………………………………………………45
Notas…………………………………………………………………………………46
Ejercicios…………………………………………………………………………..47
5 Clases laterales y grupos cociente 49
Clases laterales…………………………………………………………………49
El índice de un subgrupo…………………………………………………..52
El grupo cociente………………………………………………………………53
Subgrupos normales…………………………………………………………55
Subgrupos de un cociente………………………………………………..57
Conmutadores………………………………………………………………….57
Conmutadores en Sn y An………………………………………………..58
Notas……………………………………………………………………………….58
Ejercicios………………………………………………………………………….58
6 Homomorfismos e isomorfismos 61
El núcleo de un homomorfismo……………………………………….64
La imagen de un homomorfismo……………………………………..64
Isomorfismos…………………………………………………………………..64
Los teoremas de Noether………………………………………………...66
El teorema de Cayley……………………………………………………….70
Notas……………………………………………………………………………….73
Ejercicios………………………………………………………………………….73
7 Productos directos y grupos abelianos finitos 75
Producto directo externo…………………………………………………………75
Producto directo interno………………………………………………………….76
Grupos abelianos finitos…………………………………………………………..78
Exponente de un grupo finito…………………………………………………..81
Componentes p-primarias………………………………………………………..82
Notas……………………………………………………………………………………….83
Ejercicios…………………………………………………………………………………83
8 Acciones de grupos y un teorema de Frobenius……………………85
Puntos fijos y estabilizadores………………………………………………….86
Órbitas…………………………………………………………………………………..87
Notas……………………………………………………………………………………..89
Ejercicios………………………………………………………………………………..90
9 Los teoremas de Cauchy y Sylow 93
El normalizador de un grupo…………………………………………………..95
Los teoremas de Sylow…………………………………………………………..96
p-grupos………………………………………………………………………………..99
Grupos simples…………………………………………………………………….100
Grupos de orden p q…………………………………………………………….101
Productos semidirectos……………………………………………………….104
Productos corona………………………………………………………………..107
Subgrupos de Sylow de SN………………………………………………….107
Notas………………………………………………………………………………….113
Ejercicios……………………………………………………………………………..113
10 Grupos simples 115
Centros de Sn y An……………………………………………………………..117
Simplicidad de An………………………………………………………………117
Notas…………………………………………………………………………………119
Ejercicios…………………………………………………………………………..120
11 Grupos solubles 121
Series de composición………………………………………………………………121
Grupos solubles…………………………………………………………………………123
Grupos nilpotentes…………………………………………………………………..128
Notas………………………………………………………………………………………..133
Ejercicios……………………………………………………………………………………137
12 Grupos de matrices 139
El grupo lineal general……………………………………………………………….140
El grupo lineal especial……………………………………………………………..142
El grupo lineal proyectivo………………………………………………………….142
Transvecciones y los grupos PSL(2, Fp)………………………………………143
Notas………………………………………………………………………………………..146
Ejercicios…………………………………………………………………………………..146
13 Representaciones lineales de grupos finitos 147
Acciones lineales………………………………………………………………………148
Representaciones lineales………………………………………………………..149
Subrepresentaciones……………………………………………………………….152
Sumas directas de representaciones……………………………………….154
Notas………………………………………………………………………………………158
Ejercicios…………………………………………………………………………………159
14 Caracteres de grupos finitos 161
Caracteres………………………………………………………………………………161
Ortogonalidad de caracteres………………………………………………….165
Funciones de clases………………………………………………………………..171
La tabla de caracteres de un grupo finito……………………………….173
Notas……………………………………………………………………………………..182
Ejercicios………………………………………………………………………………..183
15 Aplicaciones de la teoría de caracteres 185
El teorema pa qb de Burnside……………………………………………….187
Representaciones y caracteres inducidos……………………………..192
Caracteres virtuales……………………………………………………………..195
Grupos de Frobenius……………………………………………………………196
Notas……………………………………………………………………………………201
El homomorfismo de transferencia………………………………………205
Ejercicios……………………………………………………………………………..208
A Enteros algebraicos 211
Polinomios simétricos………………………………………………………….211
Números algebraicos…………………………………………………………..216
Conjugados algebraicos……………………………………………………….220
Enteros algebraicos……………………………………………………………..222
Notas…………………………………………………………………………………..225
Ejercicios……………………………………………………………………………..226
Bibliografía………………………………………………………………………….227
índice analítico……………………………………………………………………233